Численные Методы, задачи на лекциях

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

[править] Лекция 2

[править] Задача 1

Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: \frac{m^3 - m}{3}.

[править]  !!! Решение

Шаг Действие Количество действий на один элемент Итоговое количество действий
Вычитание Умножение Деление Вычитание Умножение Деление
1: c1 b11 = a11 0 0 0 0 0 0
  c1j = a1j/b11, j = 1…m 0 0 1 0 0 m
2: b1T bi1 = ai1, i = 1…m 0 0 0 0 0 0
3: c2 b22 = a22 − b21 × c12 1 1 0 1 1 0
c2j = (a2j − b21×c1j)/b22, j = 2…m 1 1 1 m − 1 m − 1 m − 1
4: b2T bi2 = ai2 − bi1×c12, i = 2…m 1 1 0 m − 1 m − 1 0
(2k − 1): ck bkk = akk − Σl = 1k − 1 bkl×clk 1 k − 1 0 1 k − 1 0
ckj = (akj − Σl = 1k − 1 bkl×clj)/bii, j = k + 1…m 1 k − 1 1 m − k + 1 (k − 1) × (m − k + 1) m − k + 1
2k: bkT bik = aik − Σl = 1k + 1 bil×clk, i = k + 1…m 1 k − 1 0 m − k + 1 (k − 1) × (m − k + 1) 0
Итого         k = 2m1 + 2∑k = 2m(m − k + 1) = (2m + 1)(m − 1)/2 k = 2m(k − 1) + 2∑k = 2m((k − 1) × (m − k − 1)) = (2m + 1)m(m − 1)/2 k = 1m(m − k + 1) = (m + 1)m/2

[править] Задача 2

Показать, что ∑j = 1m((m − j + 1)(m − j + 2)/2)  =  m(m+1)(m+2)/6

[править] Решение:

Докажем это по индукции.

Для m = 1 утверждение истинно.

Пусть для m = k:

j = 1k((k − j + 1)(k − j + 2)/2)  = k(k+1)(k+2)/6

Тогда для m = k + 1:

j = 1k + 1((k − j + 2)(k − j + 3)/2)  = (k + 2)(k + 1)/2 +  ∑j = 1k((k − j + 1)(k − j + 2)/2)  = (k + 2)(k + 1)/2 +  k(k + 1)(k + 2)/6  = (k + 2)(k + 1)(k + 3)/6

[править] Лекция 4

[править] Задача 3

H — вещественный, D > 0. Показать, что ((D + D*)/2 × x, x) = (Dx, x), (D+D*)/2 > 0.

[править] Решение:

(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)

Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.

[править] Задача 3,5

С>0. Доказать, что существует σ>0: (Cx, x) >= σ||x||2. (Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).

[править] Задача 4

Доказать, что если A = A* > 0 ⇒ aii > 0, i = 1…m

[править] Лекция 7

[править] Задача 5

Показать, что λ1 = limn → ∞ (xn(i)/xn + 1(i)), i = 1…m

[править] Задача 6

Показать, что λ1(n) − λ1 = O(λ12).

[править] Задача 7

Когда λl = limn → ∞ (α + xn(i)/xn + 1(i))

[править] Лекция 9

[править] Задача 8

Пусть C = B × A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.

[править] Решение

cij = ∑k = 1m bik a kj  = {akj = 0, k > j}  = ∑k = 1j bik a kj  = {bik = 0, k<i−1}  = ∑k = i−1j bik a kj

при i > j + 1 cij = 0. Следовательно С - ВПТФ.

[править] Лекция 11

[править] Задача 9

Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t − 1/2)2(1 − t)dt = 1/120

Личные инструменты
Разделы