Редактирование: Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

[[Функциональный Анализ, 02 лекция (от 14 сентября)|Предыдущая лекция]] | [[Функциональный Анализ, 04 лекция (от 28 сентября)|Следующая лекция]]

E1, E1[f &ge; a] = E[f &ge; a] &cap; E1,

Если E = &cup;h = 1;&infin En, E[f &ge; a] = &cup;h = 1;&infin En[f &ge; a]

'''Определение 2.''' Две функции f и g назыаются эквивалентными, если мера множества, на котором они совпадают, равна 0. Обозначается f(x) ~g(x)

'''Теорема.''' Если f(x) измерима на измеримом Е, то и любая ей эквивалентная функция измерима на этом множестве.

'''Доказательство.''' E = E1 &cup; E2, E1 = E[f = g], E2 = E[f &ne; g] |E2| = 0 &rarr; |E1| = |E|

'''Определение 3.''' Какое-либо свойство выполняется почти всюду на измеримом множестве Е, если оно не выполняется на каком-нибудь подмножестве множества Е меры 0.

== Классы измеримых функций ==

'''Теорема.''' Если ф-ция f(x) почти всюду непрерывна на измеримом множестве Е, то она измерима на этом множестве

Лемма. Любая непрерывная функция измерима на замкнутом множестве.

Доказательство.Возьмём последовательность xn, которые сходятся к x. Докажем, что x принадлежит множеству: f(xn) &ge; a &rarr; f(x) &ge; a &rarr; x &isin; F[f &ge; a]

Доказательство теоремы. E = E1 &cup; E2, |E1| = 0. Из теоремы 8 параграфа 2 следует, что E~ принадлежит E2 |E~| = |E2|,

Замечание. Почти всюду непр. следует отличать от эквив. непр. Пример --- функция Дирихле, которая всюду разрывна, но эквивалентна непрерывной функции.

== Свойства измеримых ф-ций ==

Теорема 1. Пусть f(x) измерима на E. тогда |f(x)|, f(x) + C, C&times;f(x) измерима на E. Если g(x) измерима на Е, то E(f &gt; g)измерима.

Доказательство. 
* E[|f| &ge; a] = E[f &ge; a] &cup; E[f &le; &minus;a], a &gt; 0
* E[|f| &ge; a] = E, a &le; 0

* E[f + c &ge; a] = E[f &ge; &minus;C + a]
* E[Cf &ge; a] = E[f &ge; a/C], c &gt; 0, E[f &ge; q/c], c &lt; 0, cf == 0, c = 0

* E[f &gt; g] = &cup;_k=1^&infin; E[f &ge; rk] &cap; E[g &lt; rk]

Теорема 2. f(x) и g(x) измеримы на Е, f(x) {+|&minus;|&times;|&divide;} g(x) измеримы.

Доказательство. Для сложения, вычитания, умножения (fg = ¼ (f +g)^2 &minus; 1/4(f &minus; g)^2) очевидно.

Деление: 1/g измерима:

E[1/g > a] = E[g > 0] &cap; E[g &lt; 1/a], a > 0$ E[g > 0], a = 0
$ E[g > 0] &cup; E[g &lt; 1/a], a &lt; 0.

Далее воспользуемся умножением.

Теорема 3. f_n(x) --- последовательность измеримых функций на Е. Тогда f- = нижний предел при n &rarr; &infin; и f_ также измеримы на Е.

'''Доказательство.''' &phi;(x) = inf_n f_n(x), &psi;(x) = sup_n f_n(x)
* E[&phi; < a] = &cup;_n=1^&infin; E[f_n < a]
* E[&psi; > a] = &cup;_n=1^&infin; E[f_n > a]

Вспомним первый курс, что такое нижний предел:
* f_ (x) = sup_n&ge;1{inf_k&ge;n f_k(x)}
* f- (x) = inf_n&ge;1{sup_k&ge;n f_k(x)}

Теорема 4. Е --- измеримое множество, fn(x) --- последователь измеримых функций на Е, которые сходятся почти всюду к f(x), тогда f(x) --- измеримая функция.

Доказательство. Е --- объедиение двух множеств, где сходится (тогда см. теорему 3) и где нет (тут мера равна 0).

Определение 4. Сходимость по мере. Пусть Е --- измеримое множество. Последовательность f_n(x) состоит из измеримых, почти всюду конечных функций. Говорят, что такая посл. сходится к измеримой почти всюду конечной f(x) по мере, если: &forall; &epsilon; > 0 lim_n&rarr;&infin; |E[|f_n &minus; f| &ge; &epsilon;] = 0. Другими словами, для любого эпсилон и дельта больше нуля &exist;N = N()&esilon; &delta;, n &ge; N, |E[|f_n &minus; f] &ge; &epsilon; &lt; &delta;

== Сочетание сходимостей почти всюду и по мере ==

Теорема 5. Пусть измеримое множество Е конечно: |E| < +&infin;. Пусть последовательность f_n(x) измеримых на Епочти всюду конечных функций сходится почти всюду к измеримой почти всюду конечной функции f_(x). Тогда f_n(x) &rarr; f(x) по мере.

Грубо из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере.

Пример, доказывающий необходимость условия конечности меры: E = R, f_n(x) = 1, x &isin;[n, n+1]; 0, x &isin; E \ [n, n+1]. f(x) = 0, |E[|f_n &minus; f| &ge; 1/2]| = 1. В каждой точке сходится к 0, но сходимости по мере нет. Один из вопросов, которые лектор не прощает.

Введё мтакие множества: A = E[|f| = +&infin;], A_n = E[|f_n| = +&infin;], B = E|E[lim_n&rarr;&infin; f_n(x) = f(x)], C = A &cup; B &cup; [&cup;_n=1^&infin; Aqn], |C| = 0

Лектор не поимает, зачем нужен этот столб (кафедра), чтобы все напрягались? Или, чтобы держать бутылку и... или почему розетку надо удалять на 60 сантиметров, а не на 60 e/&pi;? Недавно лектор поздравил ученицу с тем, что ей e^3 лет.

&forall; &epsilon; > 0: E_n = E[|f_n – f| &ge; &epsilon;]
* R_n = &cup;_k=n^&infin; E_k, |E_n| &le; |R_n|
* R = &cap;_n=1^&infin; R_n, |Rb| &rarr; |R|
* R_n \ R = &cup;_k=n^&infin; (R_k \ R_k+1)
* эти множества не пересекаются, поэтому мера объекдинения сумма мер
* |R_1 \ R| = &sum;_k=1^&infin; |R_k – R_k+1| 
в силу конечномерности этот ряд сходящийся, остаток стремится к 0, и:
* R_n = R &cup; (R_n \ R) &harr; |R_n| &rarr; |R|

Осталось доказать, что мера R равна 0. Возьмём x_0 &notin; C. Тогда &forall; &epsilon; > 0, &exist;N = N(x_0, &epsilon;), &forall;n &ge; N, |f_n – f| <&epsilon;. Это означает, что x_0 &notin; E_N, n &ge; N, а значит, x_0 &notin; R_n, а значит, x_0 &notin; R. Отсюда |R| = 0.

А следует ли из сходимости по мере сходимость почти всюду. Нет, и во втором курсе был контрпример.

Возьмём отрезки вида [k-1/2^n, k/2^n]:
* I_1 = [0, 1]; 
* I_2 = [0; ½]; I_3 = [½; 1]
* I_4 = [0; ¼]; ...
f_n(x) = {1 на I_n, 0 вне I_n}. Тогда для любой точки x найдутся как n, для которых f_n(x) = 1, так и f_n(x) = 0. Но при этом есть сходимость по мере к f == 0.

Предыдущую формулу иногда называют теоремой Лебега.

Есть одно слово, которое на одном из языков, русском или украинском пишется с одной с, а на другом с двумя. Это можно на бутылочных этикетках посмотреть.

'''Теорема 6 (теорема Рисса).''' Е --- множество конечной меры, f_n --- множество измер. почти всюду конеч. ф-ций сходится по мере к f, тогда из неё можно выделить подпоследовтаельность, которая сходится к f_x почти всюду.

Доказательство. Определим E_k = E[f_n_k – f &ge; 1/k], тогда для любого k найдётся такое n_k, что |e_k| &lt; 1/2^k.

Далее  R_n = &cup;_k=n^&infin; E_k; |R_n &le; &Sum;_k=n^&infin;|E_k| &lt; 1/2^n-1 &rarr; 0$ R = &cap;_n=1^&infin; R_n; |R_n| &rarr; |R|; |R| = 0

Далее выбрасываем R и доказываем, что всюду вне R есть сходимость.

Пусть x_0 &notin; R. Тогда найдтся n: x_0 &notin; R_n; x_0 &notin; E_k, k &ge; n, тогда |f_n_k(x_0) – f(x_0)| &lt; ½, n_k &ge; n, а это означает, что в x_0 сходится, следовательно, везде вне R сходится.

Теорема 7. Е --- изм. мн-во конеч. меры, посл-то f_n(x) измеримых почти всюду конечных ф-ций, к-рые сходятся по мере к f(x) и g(x), тогда f(x) ~ g(x).

Доказательство. E[|f – g| &ge; &epsion;] &isin; E[|f_n – f| &&epsilon;/2] &cup; E[|f_n – g| &&epsilon;/2] . Меры двух множеств справа стремятся к 0 (из сходимости по мере). Тогда и мера множества слева стремится к 0. E[f &ne; g] &notin; &cup;_n=1^&infin; E[|f – g| &ge; 1/n]. Так как мера любого множества справа равна нулю, то и мера множества слева равна 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://www.esyr.us/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%2C_03_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_21_%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8F%D0%B1%D1%80%D1%8F%29

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Если E = &cup;<sub>h = 1;</sub><sup>&infin</sup> E<sub>n</sub>, E[f &ge; a] = &cup;<sub>h = 1;</sub><sup>&infin</sup> E<sub>n</sub>[f &ge; a]
-'''Определение 2.''' Две функции f и g назыаются эквивалентными, если мера множества, на котором они не совпадают, равна 0. Обозначается f(x) ~g(x)
+'''Определение 2.''' Две функции f и g назыаются эквивалентными, если мера множества, на котором они совпадают, равна 0. Обозначается f(x) ~g(x)
 '''Теорема.''' Если f(x) измерима на измеримом Е, то и любая ей эквивалентная функция измерима на этом множестве.

Редактирование: Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты