Философия математики, 01 лекция (от 18 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 22:07, 24 февраля 2008

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_02_18.ogg

Когда в науке происходит некий слом, то ключевые фигуры, через которых идёт это изменение — люди широких интересов, и именно эта широта позволяет видеть ситуацию сверху, не быть к ней привязанной, увидит какие-то ходы, которые те, у кого узкое восприятие, не видит. Казалось бы, эти понятия в науч процессе...

Философия ставит вопрос, что есть метод, при этом, как заметили достаточно давно, при этом, ставя этот вопрос, или удивляясь, философ удивляется специфическим, философским образом. Его специфика в том, что философ удивляется не специфическим редким предметам, способность философа в том, что он удивляется привычным вещам, котрые мы постоянно знаем, к которым привыкли. Классический пример — вопрос, который ставит блаженный Августин. Августин говорит: «что такое время, пока меня не спрашивают, я знаю что это такое, когда спрашивают, я не знаю». И так и есть, когда спрашивают, сколько времени, то это понятно, на этот вопрос можно ответить. Вопросы связанные с измерением времени, решаются. Августин же спрашивает, что такое время вообще. Это пример философствования, и оказывается, что Августин ставит вопрос в глобальном смысле, у которого нет жёстких границ, и на него однозначно ответить невозможно, ибо размыт контекст, и хоть ответить на него невозможно, что-то на него есть. Есть некий набор мыслей. Мы немного по-другому воспринимаем. Мы не приобрели опыт, но начали воспринимать иначе.

Теперь о математике. Философия смотрит на мир вокруг и задаёт наивные вещи, вопросы о вещах, которыми мы умеем пользоваться. Математика вызывала удивление, причём начала это делать почти сразу, как появилась. Стоит отметить, что математика появилась одновременно в философией, во времена Греции.

Математика и философия появляются практически одновр., с 6 по 4 вв до н. э. Откуда такая уверенность? Здесь важную роль играет язык. Мы до сих пор употр. гр. термены математика, философия, и термины эти появл. именно тогда. Это свидетеьство того, что нечто особенное появилось как самост. предмет. Кроме того, если мы приглядимся, что мы наз. матем в других культурах, оно во многом сориентировано на те слова, что вложили греки в этот период. В евр. науке это понятно. Можно возразить, как математика древнего востока: индийская, китайская... греческий там ни при чём. Дело в том, что мы смотрим на это глазами европейца и мы узнаём это от людей, которые смотрели через призму греческой математики, и этот эффект здесь присутствует, даже если мы обнаруживаем, что шумерская мат. появлиась раньше, мы её прочитываем через призму греческой. то точка отсчёта. ЮБыло опознано нечто, которое позволяет изучать культуру в разное время.

В тот момент матем. зделалась предметом интереса со стороны философ. Математики, глядя... первые темы будут свыязаны с греками, лектор поставррается пробежать этот период как можно быстрее, но именно здесь задаются те образцы, на которые ориент., и про греков нам приджётся некоторые вещи опнять. И следующие темы: ... . По кра йнекй мере, будет подробный ращговор. Уже здесь у философов было дост. поводов, чтобы удивля. математике. Стоит отметить, что они удивляются и до сих пор. Чтобы как-то жто понять, приведём примеры матем. удивления философов. Что касается греч. удивл, они сувязаны с вопросом об антологияческом статусе (в каком смысле существует то, с чем работает матем.) Греч. матем работала с числами, фигурами, но уже здесь возникает недоумение, в кком смылсе они существуют. Оказывается, как оговрили греки, что началом является единица. Давайте зададим вопрос: единиц сколько: одна или много? Если она одна, то неопнятно, как их можно складывать, что такое 1 + 1, или что такое складывать предмет сам с собой, а если их много, то чем они отличаются, чем первая единица отл. от второй в равенстве 1 = 1. Ответить на этот вопрос не так просто, тут надо подумать. Хорошо, а как быть с геометрией: вот гемоетр решил доказать теорему о сумме внутренних углов треуг. Что он делает: он говорит, пусть ABC --- треугольник, проведём прямую, параллельную AC, рассмотрим углы... и так далее. Что здесь занимает философа? О чём рассужд. геометр? О треугольнике. Он говорит о том, что нарисовал на доске? Нет, если доказал для одного, то он не доказал для другого. Геометр удивится, он же доказал для всякого. А что такое всякий?

Позднее стали удивляться и другим вещам. Например, речь об арифм. утв., например, 7 + 5 = 12. О чём мы здесь говорим? О числах. Мы опняли, что числа --- странный зверь, который не тождественнен физ. предметам. Понятно, что 7 это не 7 палочек на доске. Хорошо, это особый предмет, но это странный особый предмет, почкольку мы уже выяснив, что 5 + 7 = 12, мы можем предметы пересчитывать, кружки, палочи, и так далее... Но и нас никиаким опытом нас не убедишь, что 5 + 7 не равно 12, если мы сложим 5 и 7 груш сложим вместе и получим 13, то будем искать, откуда лишняя груша. Тогда если числа особые, то почему мы ими считаем, а если ими считаем, то почему они особые? Если опыт с грушами воспроизводим, мы придумаем теорию об искривлении пространства, но 5 и 7 останется к 12. Вроде бы матем слияет на происх. в мире, но мир на математику не влияет. Более того, математика научила рассуждаьт как-то странно. Образцом на многие века станет Начлаа Евклида. Оказалось, тчо как-то рассуждать математики странно умеют. Оказалось, что Евклид, написал начала, рассуждал о св-вах треугольника, и они с тех пор не изм. А попробуйте найти другую область, где отличаются не только результаты, но и ход рассуждений столь устойчив.

В связи с этим возн. масса вопросов, возн. ощущение, что эти результ. не зависят от Евклида, не зависят от нашего мира, что эти резудльтаты относятся к миру неизм. Тогда поялвяется вопрос, а можно ли что-то новое придумать? Или математика ничего придумать не может? Или можно? Это тоже философов удивляет, нои пытаются разобраться и не могут. Что это за странный предме т, с которым имеет дело математика. Начлаа Евкл. вдохновляли многих, в Европе многие труды подражали Началам, таких трудов много. БОльшинство из тех, кто изучал ист. фил., это этика Спинозы (?) Тем не менее, не см. на всё внешнее сходство рассужд. Спинозы, ему не удалось придать своим теоремам стольже убедительностти, какая была у Евклида. Не удаётся подражать в других областях математики, и создавать подобное. Или нам только так кажется?

Сейчас лектор навскидку привёл несколько банальных и простых вопросов, которые задаёт философ, глядя на математику.

На самом деле, если говорить ещё о каких-то проблемах, можно упомянуть ещё тлдько одну. В самом начале обнаружили, что математика каким-то образом связана с проблемами беск. Уже аристотель должен был для математики сделать искл., у него весь мир конечен, но для математики пришлось придумать искл., потенц. беск., хоть мир конечен, он не мог запретить математику строить сколь угодно больше числа. То же самое: можно взять обычный отрезок и его делить, дихотомия. И так тоже не остановиться. Математика, геометрия имеют серьёзное отношение к беск. Например: мы на отрезке ставим эти самые точки. Спросим: сколько точек на отрезке? Конечно, хочется ответить бесконечно много, но тут ещё до Аристотеля, Зинон построил ряд рассуждений, что в этом очень легко запутаться, в связи с такими предст легко строить апории, вещи, в которых легко запутаться. Например: вот мы делим отрезок на части. В итоге этот процесс заканчивается когда-нибудь или нет? Если он заканчивается, и есть последний отрезок --- точка, то если мы не дай бог скажем, что отрезок состоит из точек. Тут Зинон спросит, имеет ли точка протяжённость? Если скажем, что нет, не имеет, то как мы получаем отрезок конечной длины. Если скажем, что имеет длину, то тут Зинон скажет, что сколь маленькой длина не была, отрезок был бы беск. длины.

ДАлее: если поставим рядом два отрезка, то сколько точек? В два раза больше? Нет, столько же, можно установить взаимоодн. соотв.

Из этих вопросов и форм. философия. Например, природа мат. объектов. В каком виде сущ. числа и другие объекты? Или проблема о специфике мат. док-ва, за счёт чего удаётся получать результаты значительно более устойчивые, чес в других обл. Или пробелма нового знания. Или проблема теор. и прикл. математики. Или проблема непостиж. эффект. математики и ест. наук. За счёт чего удаётся использовать эти объекты, чтобы сказать что-то о мире? И так далее.

Мы немного поговорли о том, чем занимается философия.

Теперь немного по поводу периодов:

• Перыфй период --- Древняя греция, и тут будет 4 темы
  • Возникновение математики, заодно выясним, что это слово означало. И попробуем выяснитб, в чём специфика математики. Поговорим о том, чем она отличается мат. в культурах др. Востока. И как греки смогли до такого додуматься. И здесь тоже есть разщные размышл., разные взгляды. Далее нас эти разм. приведёт к странному сообществу, пифагорейцах, и есть серьёзные подозрения пологать, что то, что наз. мтаематике, первоначально оформилось у них. Почему пифагор., почему им эта штука понадобилась
  • Два классич. образца философ. мат.: Платона и Аристотела. А что, после Аристотеля ничего не происходило? Что касается философ. матем., и тексты, которые будут более поздние, они будут исп. в качестве комментариев к этим трудам. Похоже, принципиально за то, что было ими предложено, не пошло
• Средние века и эпоха возр. Здесь будет интерес. общий контекст. Принципиально новых подходов мы не найдём, но здесь будет очень интерес. контекст, который будет показ., как воспр., в частности, свзяанны с христ. культурой, и некоторые явл., связ. с эпохой Возр. Это подготовит мостик к Нвоому Времени.
• Идеи моделис универсалис. и фил. Нового Времени. Это Декарт, Лейбниц. Более того, Д, Л они совешенно особым образом видят место математики
• Философия математики Канта. Его постр это классика. Они осзд некий образец, на который будут ориентир.
• 19 век. Некоторый обхор. Империзм, ..., и конвенциализм 19 века. Будем смотреть, что произошло с мат. в 19 веке, и что будет происх. с рефлексией. Матем. изменяется, и, опять же, релексия, философ. рефлексия, тоже меняется. Сдесь будут спорить о том, что философ. мат. Канта несост. К концу 19 века они получ. статус, и будут смотреть, насколько его взгляд был опровергнут. Здесь же поговорим об эмпир. традиции. Она появилась не в 19 веке, она формир. с нач. Нового времени, но посмотреть удобнее именно здесь.
• Дальше обратимся к ситуации рубежа 19 и 20 века. Тема: парабоксы теории мн-в. На первый вариант вызодят два момента: оказываетсЯ, что важн. для осмысления оказыв. теор. мн-в. и развившаяся мат. логика. И оказывается, что на этой почве удаётся постр. парадоксы теор. мн-в, и в связи с этим выозникает очень активная, полемика, в которую включаются многие математики. Формируются три программы: логицизм, ..., формализм. Это то, что опр. картину первых десят. 20 века.
• По 20 веку планир три темы: релятивизм. Здесь попытаемся посмотреть реакцию, которая возникла всязи с тема, что все три программы зашли в тупик. И опять же реакцией будет предст., что если эти программы пытались решить вопрос мат. раз и навсегда, то теперь раз и навсегда не бывает. Тут две фигуры: ... и Куайн.
• Структурализм фил. мат. Эта тема будет связанна с деят группы ... .
• Последняя тема: реализм, рационализм, эспиризм в фил. мат второй половины 20 века. Здесь будут рассм. модходы, которые отр. тенденции. С одной стороны, принятие релят. тенденций, с другой стороны, попытка отстоять ряд ориентиров: единство матем., и так далее. Наряду с тем, ... .

Такой план.

В след. раз начнёт с древних греков. Введение закончено.