Редактирование: ОКФиКВ, 02 лекция (от 20 февраля)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
Вопросы, которые входят в критерии. | Вопросы, которые входят в критерии. | ||
- | Первый постулат. Квантовый объект описывается с наибольшей полнотой | + | Первый постулат. Квантовый объект описывается с наибольшей полнотой волн. функцией. |
- | Второй постулат. Каждой классической | + | Второй постулат. Каждой классической физ. вел-не соответствет оператор. Значению физ. величины, измеряемой в эксперименте, соответствует среднее значение оператора этой физической величины. |
- | Постулат утверждает, что если мы строим теорию квантового объекта, то мы должны | + | Постулат утверждает, что если мы строим теорию квантового объекта, то мы должны отталк. от классич. физ. вел-н. Хотя мы увидим, что это не всегда так, например, спин. Вообще, спин --- объект релятивистской квант. мех., а в нерел. ымы должны отталк. от классич. вел-н. |
- | Координата. Оператор координаты | + | Координата. Оператор координаты --- сама координата, умножение. x <x> = интеграл по всей прямой &ksi;*x&ksi;dx |
- | + | ||
- | + | &ksi;* --- комплексное сопряжение., интеграл по всей прямой &ksi;*x&ksi;dx = интеграл по всей прямой |&ksi;|^2 x&ksi;dx | |
- | f(x), | + | f(x), <f(x)> = интеграл &ksi;*f(x)&ksi;dx |
- | Оператор импульса. Операторы импульса выглядит так: | + | Оператор импульса. Операторы импульса выглядит так: интеграл по всей прямой &ksi;*p^&ksi;dx |
- | < | + | из каких сообр. мы можем получить это: из волны де Бройля. При рассм. волны дБ мы считаем, что импульс задан, и его значение --- среднее значение. &ksi;(x) = Ae<sup>p/π x</sup> |
- | + | Можно ввести следующую форму оператора: ... | |
- | + | Итак, в состоянии с волной де Бройля таким должен быть оператор P (проекция на ось х), чтобы выполнялись все постулаыт кв. мех. Далее мы постулируем этот оператор. В трёхмерном случае --- это градиент ... . | |
- | + | Сформулируем правило задания оператора на осн. физ. вел-ны. Есть энергия. Как построить оператор, соотв. этой физ. вел-не? ... Вот так строятся импулься в кв. мех. | |
- | + | Стоит добавить: в волновой кв. мех. Есть ещё матричная кв. ьех. Некоторое врем мы будем заниматься волновой кв. мех. А потом переёдём к операторной кв. мкех. Волновая механика удобна для описания физических явлений. А вот приложения КМ к ТИ наоборот, волновая мех. не работает, не предст. интереса, а матричная информаия работает. И это понятно: матрица --- числа и информация --- числа. | |
- | + | Это дифф. операторы, соотв. физ. вел-нам, и они работают в волновой КМ. | |
- | + | Допустим, пример: как будет выразаться энергия частицы в классич. физике: H = '''p'''^2/2m + U('''r'''). Действуем по только что описанному правилу: заменяем p на оператор p, а координату оставляем как есть: H = ... оператор --- градиент, градиент на градиент --- лапласиан. Получили оператор Гамильтона, гамильтониан частицы, которая движется в потенц. поле. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | Допустим, пример: как будет выразаться энергия частицы в классич. физике: | + | |
Запишем св-ва операторов кв. мех. | Запишем св-ва операторов кв. мех. | ||
- | * Операторы | + | * Операторы кв. мех. линейны. Квантовая механика --- линейная теория. Поэтому, операторы должны быть линейны, и поэтому, кстати, возможен принцип суперпоз. |
- | * Операторы | + | * Операторы физ. величин в кванторвой мезанике являются эрмитовыми операторами. Если выполняется такое условие: интеграл ... . То есть, среднее значение ---- действительное. |
- | + | ||
Одна из важнейших задач КМ: задача на собственные функции и значения операторов. | Одна из важнейших задач КМ: задача на собственные функции и значения операторов. | ||
- | Если есть оператор A, то задача выглядит след. образом: | + | Если есть оператор A, то задача выглядит след. образом: A^φ = Aφ. φ --- собст. функции., Aφ --- собственные числа. Уравнение дифф. Для решения надо добавлять гранич. условия. Тогда мы полностью оперделим задачу на собст. знач. и собст. функции. Например: оперделить собст. знач/функции для оператора импульса для финитного движения. Определить собст. знач. оператора энергии. |
Ещё одно свойство: свойство полноты набора собст. функций. Мы решаем задачу и получаем набор собст функции. Этот набор является полным. Полным означает вот что: любая волновая функция может быть разложена в ряд по собст. функциям оператора A. | Ещё одно свойство: свойство полноты набора собст. функций. Мы решаем задачу и получаем набор собст функции. Этот набор является полным. Полным означает вот что: любая волновая функция может быть разложена в ряд по собст. функциям оператора A. | ||
Строка 126: | Строка 110: | ||
Ещё одно свойство функций собственных: эти функций образуют не только полный, но и ортонормированный набор. | Ещё одно свойство функций собственных: эти функций образуют не только полный, но и ортонормированный набор. | ||
- | Тогда что получается: тогда двойная сумма превращается в одинарную | + | Тогда что получается: тогда двойная сумма превращается в одинарную, 1 = сумма по n |C_N(t)|^2, причём зависимость по t исчезла. |C_N|^2 --- имеет физ. смысл как вероятность нахождения частицы в этом состоянии. |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | причём зависимость по t исчезла. | + | |
- | Вот у нас есть атом воборода. У него есть спектр состояний, есть нижнее состояние, и каждому из сост. соотв. своя волновая функция. | + | Вот у нас есть атом воборода. У него есть спектр состояний, есть нижнее состояние, и каждому из сост. соотв. своя волновая функция. |C_N|^2 --- вероятность того, что электрон находится нга n-ном уровне |
- | И можно осущ. переходы в разные представления. И в этом предст. роль волновых функций играет набор | + | И можно осущ. переходы в разные представления. И в этом предст. роль волновых функций играет набор c_n. |
Фактически, мы сделали шаг к переходу к матричной кв. мех.. Именно так мы сделали переход неск. позже. | Фактически, мы сделали шаг к переходу к матричной кв. мех.. Именно так мы сделали переход неск. позже. |