Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
- | = <math>\sigma</math>-алгебра = | |
- | Совокупность A подмножеств множества <math>\Omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй: | |
- | * <math>\Omega \in A</math> | |
- | * <math>A_l \in A, l = 1,2</math>, то <math>\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A</math> | |
- | * если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math> | |
- | | |
| = Случайный эксперимент = | | = Случайный эксперимент = |
- | '''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
| + | это матетатическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. |
- | | + | |
| = Случайная величина = | | = Случайная величина = |
- | | + | Подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. |
- | Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное
| + | |
- | | + | |
- | '''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
| + | |
- | | + | |
- | '''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
| + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | '''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>.
| + | |
- | | + | |
- | ==Определение==
| + | |
- | | + | |
- | Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.
| + | |
- | | + | |
- | Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
| + | |
- | | + | |
- | ==Определение==
| + | |
- | Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X.
| + | |
- | | + | |
| = Вероятность = | | = Вероятность = |
| '''Вероятность''' (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев. | | '''Вероятность''' (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев. |
| | | |
| '''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): | | '''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): |
| + | 1. Р(Ω)=1: |
| | | |
- | * Р(Ω)=1
| + | 2. Р(А)>=0 для любого А€X; |
- | * Р(А)>=0 для любого <math>A \in X</math>
| + | |
- | * обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
| + | |
- | | + | |
- | = Вероятностное пространство =
| + | |
- | ==Определение==
| + | |
- | | + | |
- | '''Вероятностное пространство''' — это тройка <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, где
| + | |
- | * <math>\Omega \ </math> — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
| + | |
- | * <math>\mathcal{F}</math> — сигма-алгебра подмножеств <math>\Omega \ </math>, называемых (случайными) событиями;
| + | |
- | * <math>\mathbb{P}</math> — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что <math>\mathbb{P}(\Omega) = 1</math>.
| + | |
- | | + | |
- | === Замечания ===
| + | |
- | * Элементарные события (элементы <math>\Omega \ </math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
| + | |
- | * Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
| + | |
- | = Распределение вероятностей =
| + | |
- | ''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.
| + | |
- | | + | |
- | '''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
| + | |
- | | + | |
- | == Определение ==
| + | |
- | | + | |
- | '''Определение ''' Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math>. В частности, по определению, <math>X</math> является измеримым отображением измеримого пространства <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> в измеримое пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> обозначает борелевскую сигма-алгебру на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда случайная величина <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}</math> следующим образом:
| + | |
- | | + | |
- | :<math>\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).</math>
| + | |
- | | + | |
- | Мера <math>\mathbb{P}^X</math> называется '''распределением''' случайной величины <math>X</math>.
| + | |
- | | + | |
- | = Случайная выборка =
| + | |
- | '''Случайной выборкой объема <math>n</math>''', отвечающей случайной величине <math>X</math>, c функцией распределения <math>F(x)</math>, называется набор <math>n</math> независимых случайных величин <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>, каждая из которых имеет распределение <math>F(x)</math>
| + | |
- | | + | |
- | = Источники =
| + | |
- | http://ru.wikipedia.org
| + | |
| | | |
- | {{Курс МОТП}}
| + | 3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) . |