Редактирование: ГОС
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Пределы == | == Пределы == | ||
- | + | <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 - n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math> | |
- | + | ||
- | <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 | + | |
== Интегралы == | == Интегралы == | ||
Строка 11: | Строка 9: | ||
<math>\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\} = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C</math> | <math>\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\} = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C</math> | ||
- | <math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{ | + | <math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{6} \int (3x + 1)^2d(3x + 1)^2 = \frac{1}{6} \frac{(3x + 1)^4}{2} + C</math> |
<math>\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C </math> | <math>\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C </math> | ||
Строка 34: | Строка 32: | ||
=== Гармонический ряд === | === Гармонический ряд === | ||
Доказать расходимость гармонического ряда: | Доказать расходимость гармонического ряда: | ||
- | <math>\sum_{n= | + | <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}</math> |
Покажем по Критерию Коши: | Покажем по Критерию Коши: | ||
Строка 64: | Строка 62: | ||
Находим корни этого уравнения: | Находим корни этого уравнения: | ||
- | <math>\lambda = 1, \lambda = | + | <math>\lambda = 1, \lambda = 2, \lambda = -1</math> |
<math> y_1 = e^{t}, </math> | <math> y_1 = e^{t}, </math> | ||
- | <math>y_2 = e^{ | + | <math>y_2 = e^{2t},</math> |
<math> y_3 = e^{-t}</math> | <math> y_3 = e^{-t}</math> |